余数定理（Polynomial remainder theorem）是数学中的一项重要定理。它告诉我们，当一个多项式f(x)被一个线性多项式(x-a)除时，余数是f(a)。换言之，我们可以将多项式f(x)看作是由线性多项式(x-a)和余数f(a)组成。这一特性具有深远的意义，尤其是在处理多项式函数及其与零点的关系时。
想象一下这样的情况：当我们遇到一个多项式f(x)，并且知道它有一个零点a，也就是说f(a)=0。这时，我们可以确定线性多项式(x-a)是多项式f(x)的一个因式。这是因为当我们将f(x)除以(x-a)时，余数为零，符合余数定理的描述。
以多项式 (5x^3 + 4x^2 - 12x + 1) 为例，当它被 (x-3) 除时，余数是 5×3^3 + 4×3^2 - 12×3 + 1 = 136。这意味着，多项式 (5x^3 + 4x^2 - 12x + 1) 可以由 (x-3) 和余数 136 共同表示。
进一步来说，根据除法的定义和性质，被除数等于除数乘以商加余数。在多项式的情况下，这个原则同样适用。当我们将一个多项式f(x)除以一个线性多项式(x-a)时，所得到的余数就是f(a)。这是多项式数学中的基本定理之一，为我们理解和操作多项式提供了有力的工具。
余数定理为我们提供了一种观察和操作多项式的新方式，特别是在寻找多项式的因式、零点以及理解多项式与线性因子的关系时，这一定理显得尤为重要。
